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线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量、矩阵、线性方程组以及它们之间的关系。在新东方的线性代数课程中，公式和解题技巧的总结对于学习者来说是非常宝贵的资源。以下是一些核心知识点的详细说明：
1. **行列式按行（列）展开定理**：行列式可以通过它的任何一行或一列展开，这有助于简化计算。如果题设条件与代数余子式Aij或A*（伴随矩阵）相关，这个定理非常实用。
2. **逆矩阵定义的应用**：如果AB=BA，可以利用矩阵乘积的逆性质来分析A和B是否可交换，即如果A的逆存在，那么A和B可交换当且仅当AB=BA。
3. **因子分解**：如果n阶方阵A满足某个多项式f(A)=0，要求aA+bE可逆，通常需要将aA+bE分解为因子，然后利用可逆矩阵的性质来证明。
4. **线性无关性的证明**：一组向量α1,α2,...,αs线性无关，意味着没有非零权重组合使得它们的和为零。通常采用定义直接证明，即找到非零解的存在性。
5. **Ax=0的解**：如果已知AB=0，可以将B的每一列视为线性方程组Ax=0的解。这在处理线性映射和秩的问题时非常有用。
6. **行列式为零**：在求解参数的取值时，如果题设涉及某些条件，可以尝试构建行列式并令其为零，这常常与矩阵的秩或特征值相关。
7. **特征向量的性质**：特征向量ζ0满足矩阵A与其特征值λ0的乘积关系Aζ0=λ0ζ0，它是理解矩阵对向量作用的关键。
8. **正定矩阵的定义**：对于n阶实对称矩阵A，如果对于所有非零向量x，都有x^T Ax > 0，则A是正定的。这是矩阵理论中的一个重要概念，用于优化问题和二次型等领域。
线性代数的基本概念包括线性方程组、矩阵、向量和行列式。线性方程组的解可能有无解、唯一解或无穷多解，根据方程的几何表示（如直线的位置关系）来判断解的类型。矩阵是线性代数的核心工具，它与向量有着密切的关系，如行向量、列向量和转置。特定类型的矩阵，如对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵、上/下三角矩阵和对称矩阵，在计算和理论中都有特殊的性质和应用。
此外，线性运算如加法、减法和标量乘法是矩阵和向量的基本操作。转置矩阵A^T的元素是原矩阵A的对角线元素的转置，它在保持向量长度和角度不变的线性变换中扮演重要角色。
掌握这些基本概念和技巧，将有助于理解和解决线性代数中的复杂问题。新东方的线性代数公式技巧总结为学生提供了有效的学习路径，帮助他们更好地应对考试和实际问题。
